Halaman
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRIKELAS X MATEMATIKA WAJIBPENYUSUNTinasari PristiyantiSMA Negeri 3 Bogor
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................8FUNGSI TRIGONOMETRI..................................................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................8C.Rangkuman...............................................................................................................18D.Latihan Soal..............................................................................................................19E.Penilaian Diri............................................................................................................24KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................25GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI BENTUK Y = A Sin b (X ±C) ±K.................................25A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................25B.Uraian Materi............................................................................................................25C.Rangkuman...............................................................................................................30D.Latihan Soal..............................................................................................................31E.Penilaian Diri............................................................................................................34EVALUASI.............................................................................................................................................35DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................40
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMFungsi:atau pemetaan merupakan relasi khusus dari himpunan domainke kodomain, dengan aturan setiap anggota domaindipasangkan tepat satu ke anggota kodomainDomain:daerah asal atau himpunan yang memuat elemen pertama himpunan pasangan berurutrelasi RKodomain:daerah himpunan kawan, atau himpunan yang memuat elemen kedua himpunan pasangan berurut relasi RTrigonometri:Cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebutKoordinat Cartesius:didefinisikan dengan dua garis sumbu yang saling tegak lurus dan terletak pada satu bidang (bidang xy)Grafik fungsi:grafik fungsi f adalah himpunan pasangan berurutan, di mana f (x) = y.Sinus/Sin:perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o)Cosinus/Cos:perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o)Tangen/Tan:perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o)
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPTRIGONOMETRIUkuranSudutPerbandingan Trigonometri pada segitiga siku-sikuSudut-sudut berelasiIdentitas TrigonometriAturan Sinus dan CosinusFungsi TrigonometriGrafik Fungsi TrigonometriSinusCosinusTangenAmplitudo dan Periode
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika WajibKelas:XAlokasi Waktu:2x 4 JP ( 8JP)Judul Modul:Fungsi TrigonometriB. Kompetensi Dasar3.10Menjelaskan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan4.10Menganalisa perubahan grafik fungsi trigonometri akibat perubahan pada konstanta pada fungsi y = a Sin b (x+c) + d. C. Deskripsi Singkat MateriIlmu Trigonometri ini tentunya memiliki penerapan dan manfaat dalam kehidupan sehari-hari kita, diantaranya pada bidang teknik sipil, arsitek bangunan, dan astronomi. Misalnya dalam ilmu teknik sipil, ilmu trigonometri ini digunakan oleh seorang Surveyor (ahli ilmu ukur tanah). Pengukuran tanah adalah salah satu cabang ilmu alam untuk menentukan posisi ruang dimendsi tiga dari suatu tempat pada permukaan bumi. Yang paling sering kita jumpai adalah dalam ilmu arsitektur bangunan, ilmu trigonometri sering digunakan untuk menentukan sudut dalam proses pembuatan suatu bangunan atau gedung-gendung tinggi. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri.Dalam dunia Teknik sipil, kita sering melihat seoranginsinyur sipil dalam menguji kekuatan bangunan mengunakan getaran dan gelombang yang hasilnya berbentuk seperti grafik dibawah ini.Bentuk grafik seperti di atas adalah bentuk grafik yang akan kita pelajari di dalam modul ini. Fungsi trigonometri adalah fungsi yang menghubungkan besar sudut dengan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Nilai fungsi trigonometri ini digunakan untuk menentukan besar sudut atau panjang sisi suatu segitiga. Ada tiga bentuk dasar dari sebuah fungsi trigonometri yaitu fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen. Ketiga fungsi ini dapat dengan mudah digambarkan dengan bantuan satuan lingkaran sehingga diperoleh sebuah gambar grafik fungsi trigonometri. Grafik fungsi sinus
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7dan fungsi cosinus akan membentuk sebuah gelombang yang berulang dan periodik. Bentuk khas dari fungsitrigonometri ini maka dapat ditemukan karakteristik dari fungsi trigonometri jika terjadi perubahan pada amplitudodan periodenya. D. Petunjuk Penggunaan ModulMateri bahasan pada modul ini terbagi menjadi duakegiatan pembelajaran, yaitu:1.Kegiatan pembelajaran pertama membahas tentang menentukan nilai sebuah fungsi trigonometri dengan menggunakan bantuan lingkaran satuandanmenggambar grafik fungsi trigonometri yaitu sinus, cosinus dan tangen dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari lingkaran satuan.2.Pembelajaran pertamaterdiri dari tiga bagian, yaitu: a.Pada bagian 1 silahkan kalian pelajari terkait dengan pembuatan grafik trigonometri sinus dengan menggunakan lingkaran satuan. b.Pada bagian 2 silahkan kalian pelajari terkait dengan pembuatan grafik trigonometri cosinus dengan menggunakan lingkaran satuan.c.Pada bagian 3 silahkan kalian pelajari terkait denganpembuatan grafik trigonometri tangen dengan menggunakan lingkaran satuan.3.Pembelajaran keduamenganalisa perubahan grafik fungsi trigonometri akibat perubahan pada konstanta pada fungsi 𝑦= 𝑎sin 𝑏(𝑥±𝑐)± 𝑑, 𝑦= 𝑎cos𝑏(𝑥± 𝑐)± 𝑑dan 𝑦=𝑎tan𝑏(𝑥± 𝑐)± 𝑑4.Pahami tiap kegiatan dengan tuntas, jangan melanjutkan ke kegiatan berikutnya bila masih ada yang belum dipahami. 5.Setiap kegiatan belajar dilengkapi dengan latihan yang menjadi alat ukur tingkat penguasaan kalian, setelah mempelajari modul ini. 6.Jika kalian belum menguasai 80% dari latihan pada setiap kegiatan pembelajaran, maka kaliandapat mengulanginya kembali. 7.Apabila kalian masih mengalami kesulitan dalam memahami materi yang ada dalammodul ini, silahkan berdiskusi dengan E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Fungsi trigonometridan Menggambar grafik fungsi trigonometriKedua : Grafik fungsi trigonometri dalam bentuk𝑦= 𝑎sin 𝑏(𝑥± 𝑐) ± 𝑑, 𝑦= 𝑎cos𝑏(𝑥± 𝑐) ± 𝑑dan 𝑦= 𝑎tan𝑏(𝑥± 𝑐) ± 𝑑
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1FUNGSI TRIGONOMETRIA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkankalian dapat:1.Mendeskripsikan fungsi trigonometri2.Menjelaskan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuanB.Uraian MateriDalam menentukan grafik fungsi trigonometri dapat digunakan duacara, yaitu dengan menggunakan tabel sudut-sudut istimewa trigonometri dan membuat lingkaran satuan. Pada bahasan kita akan membahas cara menggambarkan fungsi trigonometri sinus,cosinus dan tangen dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan. Pembahasan kita akan dibagi menjadi tiga bagian bagian Grafik Sinus, Grafik Cosinus dan Grafik Tangen. Pada bahasan sebelumnya kita telah membahas terkait dengan lingkaran satuan dengan jari-jari 1 satuan. Bahwa lingkaran satuan dengan jari-jari satu adalah lingkat yang berpusat di O(0,0) dengan jari-jari sebesar 1 satuan. Dengan menggunakan definisi di atas, maka diperoleh gambar di bawah ini:Dengan melihat gambar di atas, maka kita ingat kembali bahwa: 𝑆𝑖𝑛𝜃=𝐴𝑃𝑂𝑃=𝑦𝑟, 𝐶𝑜𝑠𝜃=𝑂𝐴𝑂𝑃=𝑥𝑟, dan 𝑇𝑎𝑛𝜃=𝐴𝑃𝑂𝐴=𝑦𝑥Ingat kembali definisi fungsi adalah pemetaan yang menghubungkan semua anggota domain (daerah asal) ke tepat satu anggota kodomain (daerah hasil), maka fungsi trigonometri juga harus memenuhiketentuan tersebut. Pada fungsi trigonometri yang menjadi domain adalah besarnya sudut, atau pada gambar di atas adalah 𝜃. Karenauntuk setiap sudut 𝜃hanya akan mempunyai satu nilai Sin 𝜃, Cos 𝜃, dan Tan 𝜃yang merupakan anggota bilangan riil. Fungsi sinus,
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9cosinus dan tangen merupakan relasi dari himpunan sudut ke bilangan riil yang dapat digambarkan sebagai berikut:Dengan: a.gambar (i) menunjukan fungsi grafik sinusyang didefiniskan 𝑓∶𝜃→𝑆𝑖𝑛𝜃,𝜃∈𝑅,dengan 𝑓(𝜃)=𝑆𝑖𝑛𝜃b.gambar (ii) menunjukan fungsi cosinus yang didefinisikan 𝑓∶𝜃→𝐶𝑜𝑠𝜃,𝜃∈𝑅,dengan 𝑓(𝜃)=𝐶𝑜𝑠𝜃c.gambar (iii) adalah grafik fungsi tangenyang didefinisikan 𝑓∶𝜃→𝑇𝑎𝑛𝜃,𝜃∈𝑅,dengan 𝑓(𝜃)=𝑇𝑎𝑛𝜃Fungsi 𝑓(𝜃)=𝑆𝑖𝑛𝜃, 𝑓(𝜃)=𝐶𝑜𝑠𝜃,𝑓(𝜃)=𝑇𝑎𝑛𝜃kita sebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun nilai Sin, Cos dan Tangen suatu sudut dapat bernilai positif maupun bernilai negatif atau nol tergantung letak sudutnya berada di kudrannya. Menentukan nilai fungsi trigonometri sama seperti kita menentukan nilai fungsi yang lainnya, yaitu dengan melakukan substitusi nilai variable yang diberikan kedalam fungsinya. (Ingat kembali nilai-nilai sudut trigonometri, khususnya terkait dengan nilai sudut istimewa!)Berikutnya akan kita bahas bagaimana menggambarkan grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan atau lingkaran dengan jari-jari satuan. Untuk memahami fungsi trigonometrisecara umum, maka kita terlebih dahulu membahasa grafik fungsi trigonometri dasar yaitu grafik y = Sinx, ,, y = cos xdan y = tan x. Grafik fungsi trigonometri digambar dalam tata koordinat Cartesius yang menggunakan dua sumbu, yakni sumbux sebagai nilai sudut dan sumbuy sebagai nilai fungsinya. Untuk melukis kedua sumbu ini dipakai aturan tersendiri, yaitu sebagai berikut: a.Sumbu x sebagai nilai sudut, panjangnya sama dengan keliling lingkaran (2πr). Dalam satuan derajar sumbu ini dibagi menjadi 360 bagian dengan setiap bagiannya sama dengan 10. Sedangkan dalam satuan radian nilai-nilai tersebut dikonversikan ke dalam πradian. b.Sumbu y sebagai nilai fungsinya, dengan skalanya dihitung satu satuan panjang sebagai panjang jari-jari lingkaran.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Dari ilustrasi di atas, maka dapat digambarkan koordinat Cartesius yang digunakan untuk menggambar fungsi trigonometri sebagai berikut:Dengan menggunakan koordinat Cartesius di atas, maka dibawah akan kita bahas cara untuk menggambar grafik trigonometri sederhana y = sin x, y = cos xdan y = tan xdengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut:1.Grafik Fungsi SinusUntuk membuat grafik fungsi y = sin x, maka yang langkah-langkahnya adalah: a.bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilaifungsitrigonometrinya.b.buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.c.buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudutistimewa yang telah kita pelajari sebelumnya. Perhatikan gambar berikut ini:Perhatikan 2: Besar CAC’ = 300. Maka perhatikan segitiga CAC’, diperoleh bahwa 𝑆𝑖𝑛300=𝐶′𝐸𝐴𝐶=𝐶′𝐸1Maka 𝐶′𝐸=𝑆𝑖𝑛300.1=12. Sehingga panjang C’E = 12.Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang 𝐸𝐶5′=𝐶′𝐸=12Perhatikan3: Besar 𝐶𝐴𝐶1′= 450. Lingkaran disamping adalah sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Maka panjang AC = 1 satuan.Perhatikan 1: Besar CAC = 00. Maka diperoleh bahwa AC adalah sebuah garis lurus sehingga besar sudut yang diperoleh adalah 00. Ingat bahwa Sin 00= 0.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Maka perhatikan segitiga 𝐶𝐴𝐶1′, diperoleh bahwa 𝑆𝑖𝑛450=𝐺𝐶1′𝐴𝐶=𝐺𝐶1′1Maka 𝐺𝐶1′=𝑆𝑖𝑛450.1=12√2Sehingga panjang 𝐺𝐶1′= 12√2. Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang 𝐸𝐶4′=𝐺𝐶1′=12√2. Perhatikan 4:Besar 𝐶𝐴𝐶2′= 600. Maka perhatikan segitiga 𝐶𝐴𝐶2′, diperoleh bahwa 𝑆𝑖𝑛600=𝐴𝐶2′𝐴𝐶=𝐶′𝐸1Maka 𝐴𝐶2′=𝑆𝑖𝑛600.1=12√3. Sehingga panjang 𝐴𝐶2′= 12√3Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang 𝐴𝐶2′=𝐼𝐶3′=12√3Perhatikan5: Besar CAV= 900. Maka perhatikan segitiga CAV, diperoleh bahwa 𝑆𝑖𝑛90=𝐴𝑉𝐴𝐶=11Maka 𝐴𝑉=𝑆𝑖𝑛900.1=1Sehingga panjang AV = 1Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang AV = AW = 1. Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = sin xdengan meletakkan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut: Maka grafik fungsi trigonometri y = sin xuntuk nilai 00≤𝑥≤2𝜋0diperoleh sepertipada grafik di atas.Berdasarkan grafik di atas, maka dapat kita peroleh beberapa hal sebagai berikut: a)untuk 𝑥=𝜋2maka y = 1 adalah nilai maksimum fungsi y = sin xb)untuk 𝑥=3𝜋2maka y = -1 adalah nilai minimumfungsi y = sin xc)grafik fungsi y = sin xmemotong sumbuy pada x = 00,𝜋dan 2𝜋
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12d)grafik fungsi y = sin xmempunyai periode 2𝜋, yaitu besar sudut yang dibutuhkan untuk membentuk 1 gelombang fungsi y = sin xKesimpulan dari a) sampai dengan d) dapat disimpulkan pada gambar dibawah ini:2.Grafik Fungsi CosinusUntuk membuat grafik fungsi y = cos x, maka yang Langkah-langkahnya adalah: a.bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilaifungsitrigonometrinya.b.buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.c.buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya. Perhatikan gambar berikut ini:Perhatikan 2: Besar CAC’ = 300. Maka perhatikan segitiga CAC’, diperoleh bahwa 𝐶𝑜𝑠300=𝐴𝐸𝐴𝐶′=𝐴𝐸1Maka 𝐴𝐸=𝐶𝑜𝑠300.1=12√3. Sehingga panjang 𝐴𝐸= 12√3Maka dengan menggunakan Teorema Phytagoras, maka diperoleh bahwa panjang (𝐶𝐸′)2=(𝐴𝐶′)2−(𝐴𝐸)2=1−(12√3)2=14Maka 𝐶𝐸′=12Lingkaran disamping adalah sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Maka panjang AC = 1 satuan.Perhatikan 1: Besar CAC = 00. Maka diperoleh bahwa AC adalah sebuah garis lurus sehingga besar sudut yang diperoleh adalah 00. Ingat bahwa Cos 00= 1.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang 𝐸𝐶5′=𝐶′𝐸=12Perhatikan 3: Besar 𝐶𝐴𝐶1′= 450. Maka perhatikan segitiga 𝐶𝐴𝐶1′, diperoleh bahwa 𝐶𝑜𝑠450=𝐴𝐺𝐴𝐶1′=𝐴𝐺1Maka 𝐴𝐺=𝐶𝑜𝑠450.1=12√2Maka dengan menggunakan Teorema Phytagoras, maka diperoleh bahwa panjang (𝐺𝐶1′)2=(𝐴𝐶1′)2−(𝐴𝐺)2=1−(12√2)2=12Maka 𝐺𝐶1′=12√2Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang 𝐺𝐶4′=𝐺𝐶1′=12√2Perhatikan 4: Besar 𝐶𝐴𝐶2′= 600. Maka perhatikan segitiga 𝐶𝐴𝐶2′, diperoleh bahwa 𝐶𝑜𝑠600=𝐴𝐼𝐴𝐶2′=𝐴𝐼1Maka 𝐴𝐼=𝐶𝑜𝑠600.1=12. Sehingga panjang 𝐴𝐼= 12Maka dengan menggunakan Teorema Phytagoras, makadiperoleh bahwa panjang (𝐼𝐶2′)2=(𝐴𝐶2′)2−(𝐴𝐼)2=1−(12)2=34Maka 𝐼𝐶2′=12√3Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang 𝐼𝐶3′=𝐼𝐶2′=12√3Perhatikan5: Besar CAV = 900. Maka perhatikan segitiga CAV, diperoleh bahwa 𝐶𝑜𝑠900=𝐴𝑉𝐴𝐶=11Maka 𝐴𝑉=𝐶𝑜𝑠900.1=0Sehingga panjang AV = 0Dengan cara yang sama diperoleh bahwa panjang AV = AW = 0. Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = cos xdengan meletakan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut:
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Maka grafik fungsi trigonometri y = cos xuntuk nilai 00≤𝑥≤2𝜋0diperoleh seperti pada grafik di atas.Berdasarkan grafik di atas, maka dapat kita peroleh beberapa hal sebagai berikut: a)untuk𝑥=0maka y = 1 adalah nilai maksimum fungsi y = cos xb)untuk 𝑥=𝜋maka y = -1 adalah nilai minimumfungsi y = cos xc)untuk 𝑥=3600maka y = 1 adalah nilai maksimum fungsi y = cos xd)grafik fungsi y = cos xmemotong sumbu-y pada x = 𝜋2dan 𝑥=3𝜋2e)grafik fungsi y = cos xmempunyai periode 2𝜋, yaitu besar sudut yang dibutuhkan untuk membentuk 1 gelombang fungsi y = cos xKesimpulan dari a) sampai dengan d) dapat disimpulkan pada gambar dibawah ini:3.Grafik Fungsi TangenUntuk membuat grafik fungsi y = tan x, maka yang Langkah-langkahnya adalah: a.bidang gambar pada koordinat Cartesius dengan sumbu-x menunjukan besarnya sudut dan sumbu-y adalah nilaifungsitrigonometrinya.b.buat lingkaran satuan yaitu lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.c.buatlah sudut pada lingkaran satuan yang bersesuaian dengan sudut istimewa yang telah kita pelajari sebelumnya.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15Perhatikan gambar berikut ini:Perhatikan 2: Besar CAC’ = 300. Maka perhatikan segitiga CAC’, diperoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛300=𝐶′𝐸𝐴𝐸Sebelumnya telah kita peroleh bahwa 𝐶′𝐸=12dan panjang 𝐴𝐸=12√3, maka dipeoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛300=𝐶′𝐸𝐴𝐸=1212√3=1√3=13√3Perhatikan 3: Besar 𝐶𝐴𝐶1′= 450. Maka perhatikan segitiga 𝐶𝐴𝐶1′, diperoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛450=𝐺𝐶1′𝐴𝐺. Dari perhitungan sebelumnya telah kira peroleh bahwa panjang 𝐺𝐶′=12√2dan panjang 𝐴𝐺=12√2. Maka 𝑇𝑎𝑛450=12√212√2=1Perhatikan 4: Besar 𝐶𝐴𝐶2′= 600. Maka perhatikan segitiga 𝐶𝐴𝐶2′, diperoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛600=𝐼𝐶2′𝐴𝐼Dari perhitungan sebelumnyadiperoleh bahwa 𝐼𝐶2′=12√3dan 𝐴𝐼=12. Maka diperoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛600=𝐼𝐶2′𝐴𝐼=12√312=√3Perhatikan5: Besar CAV = 900. Maka perhatikan segitiga CAV, diperoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛900=𝐴𝑉𝐴𝐶=10, sehingga diperoleh bahwa 𝑇𝑎𝑛900=∞Lingkaran disamping adalah sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Maka panjang AC = 1 satuan.Perhatikan 1: Besar CAC = 00. Maka diperoleh bahwa AC adalah sebuah garis lurus sehingga besar sudut yang diperoleh adalah 00. Ingat bahwa Tan 00= 0
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16Berdasarkan yang kita peroleh diatas, maka dapat menggambarkan grafik fungsi trigonometri y = tan xdengan meletakan titik-titik yang kita peroleh melalui lingkaran satuan di atas sebagai berikut: Maka grafik fungsi trigonometri y = tan xuntuk nilai 00≤𝑥≤2𝜋0diperoleh seperti pada grafik di atas.Berdasarkan grafik di atas, maka dapat kita peroleh beberapa hal sebagai berikut: a)grafik fungsi y = tan xmemotong sumbu-y pada x = 00, x = 𝜋dan 𝑥=2𝜋b)grafik fungsi y = tan xtidak mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum. c)Grafik fungsi y = tan xtidak mempunyai nilai untuk x = 𝜋2dan x = 3𝜋2d)grafik fungsi y = tan xmempunyai periode 𝜋, yaitu besar sudut yang dibutuhkan untuk membentuk 1 gelombang fungsi y = tan xKesimpulan dari a) sampai dengan d) dapat disimpulkan pada gambar dibawah ini:Untuk kita lebih memahami lagi terkait dengan grafik fungsi trigonometri, maka kalian lihat beberapa contoh dibawah ini.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17CONTOH 1Gambarlah grafik dari y = 2 Sin 2xJawaban:Langkah-langkah untuk menggambar grafik y = 2 Sin 2x adalah:a.Pertama gambarlah dahulu grafik y = sin xdan y = Sin 2x sebagai dasarb.Nilai maksimum y = sin xadalah 1, maka nilai maksimum y = 2 sin x= 2 (1) = 2.Dan juga nilai minimum y = sin xadalah -1, maka nilai minimum y = 2 sin x= 2 (-1) = -2. c.Peroide grafik fungsi y = 2 Sin 2x sama dengan periode fungsi y = Sin 2x, karena sudutnya sama. Maka periodenya sama dengan 36002=1800d.Perhatikan kembaligrafik y = sin x, dengan periode sejauh 3600, memotong sumbu-x di titik x = 00, 1800, 3600. Maka grafik y = Sin 2x dengan periode sejauh 1800, memotong sumbu-x di titik x = 00, 900, 1800.e.Grafik y = sin xmencapai maksimum di x = 900dengan nilai ymax= 2dan mencapai minimum di x = 2700dengan nilai ymin= -2.f.Berdasarkan informasi di atas, maka diperoleh grafik y = 2 Sin 2x sebagai berikut:CONTOH 2Gambarlah grafik dari 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠(12𝑥), untuk 0≤𝑥≤3600Jawaban:Langkah-langkah untuk menggambar grafik 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠(12𝑥)adalah:a.Pertama gambarlah dahulu grafik y = cos xdan y = 𝐶𝑜𝑠(12𝑥)b.Nilai maksimum y = cos xadalah 1, maka nilai maksimum y = 𝐶𝑜𝑠(12𝑥)= 1. Karena 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠(12𝑥),maka nilai ymax= -3 (1) = -3menjadi nilai minimumc.Nilai minimum y = cos xadalah -1, maka nilai minimum y = 𝐶𝑜𝑠(12𝑥)= -1. Karena 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠(12𝑥),maka nilai ymin= -3 (-1) = 3 menjadi nilai maksimumd.Periode grafik fungsi 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠(12𝑥)sama dengan periode fungsi y = 𝐶𝑜𝑠(12𝑥), karena sudutnya sama. Maka periodenya sama dengan 360012=7200
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18e.Perhatikan kembali grafik y = 𝐶𝑜𝑠(𝑥), dengan periode sejauh 360, memotong sumbu-x di titik x =900, 2700. Maka grafik y = 𝐶𝑜𝑠(12𝑥)dengan periode sejauh 7200, memotong sumbu-x di titik x = 1800, 5400.f.Berdasarkan informasi di atas, maka diperoleh grafik 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠(12𝑥)sebagai berikut:CONTOH 3Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y = 2 Sin 3x !Jawaban:Bentuk dasar dari fungsi y = 2 Sin 3x adalah y = Sin 3x. Nilai maksimum y = Sin 3x sama dengan nilai maksimum y = sin xsama dengan 1. Maka nilai ymax= Sin 3x = 1. Maka nilai ymax= 2 Sin 3x = 2 (1) = 2Nilai minimum y = Sin 3x sama dengan nilai minimum y = sin xsama dengan -1. Maka nilai ymin= Sin 3x = -1.Maka nilai ymax= 2 Sin 3x = 2 (-1) = -2C.Rangkuman1.Lingkaran satuan adalah lingkaran yang memiliki persamaan 𝑥2+𝑦2=12.Menggambar grafik fungsi trigonometri dapat digunakan dengan dua cara, yaitu dengan tabel nilai-nilai sudut istimewa dan menggunakan lingkaran satuan3.Perbandingan nilai trigonometri dapat terlihat pada bidang Cartesius4.Grafik y = sin x, untuk 00≤𝑥≤2𝜋adalah:
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN195.Grafik y = cos x, untuk 00≤𝑥≤2𝜋adalah:6.Grafik y = tan x, untuk 00≤𝑥≤𝜋adalah:D.Latihan SoalUntuk lebih memahami terkait fungsi trigonometri dan menggambar fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan,maka kerjakan latihan soal dibawah ini secara mandiri. Upayakan mengerjakan secara mandiriPILIHAN GANDA1.Diketahui grafik fungsi y1= 5 sin xdan y2= sin 5x. Pernyataan berikut yang benar adalah ....A.periode y1= periode y2B.amplitudo y1= amplitudo y2C.periode y1= 15kali periode y2D.amplitudo y1= 15kali amplitudo y2E.amplitudo y1=5 kali amplitudo y22.Jika periode suatu fungsi trigonometri adalah 3600, maka fungsi ini adalah:(1)sin x(2)cos x(3)sin (x + 1800)(4)tan xPernyataan yang benar adalah ....A.(1), (2) dan (3)B.(1) dan (3)C.(2) dan (4)D.(4) sajaE.Semua pernyataan benar
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN203.Sebuah grafik fungsi trigonometri mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:(1)Memotong sumbu-x di 𝑥=𝑘𝜋dengan 𝑘=0,±1,±2,...(2)Mempunyai asimtot tegak di 𝑥=12𝑘𝜋dengan 𝑘=0,±1,±2,...(3)Selalu berada di atas sumbu -x pada daerah0<𝑥<12𝜋(4)Terletak dalam daerah -1 < y < 1Grafik fungsi trigonometri dengan ciri-ciri diatas adalah ....A.sin xB.cos xC.tan xD.sin 2xE.cos 2x4.Dengan menggunakan skala dan kertas gambar yang sama, pada interval 00< x < 900maka akan terlihat: (1)Maksimum sin x= maksimum cos x(2)Maksimum tan x> Maksimum cos x(3)Maksimum 3 sinx> Maksimum sin 3x(4)Maksimum 3 sin x> Maksimum 3 cos xPernyataan yang bernilai benar adalah....A.(1), (2) dan (3) benarB.(1) dan (3) benarC.(2) dan (4) benarD.(4) sajaE.Semua pernyataan benar5.Persamaan grafik fungsitrigonometri pada gambar di bawah ini adalah ...6.Persamaan grafik di bawah ini adalah y = a cos kx, dengan 00≤ x ≤1200, maka nilai a dan k berturut-turut adalah ....A.y = -cos (2x -30)0B.y = -cos (2x +30)0C.y = cos (2x -30)0D.y = -sin(2x -30)0E.y = -sin(2x +30)0A.-1 dan 16B.1 dan 3C.2 dan 13D.-1 dan 3E.-1 dan 16
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN217.Fungsi 𝑦=12𝐶𝑜𝑠𝑥+1merupakan fungsi:(1)Periodik dengan periode 2𝜋(2)Mempunyai nilai minimum −112(3)Mempunyai nilai maksimum 112(4)Memotong sumbu-x di 𝑥=𝜋2Pernyataan yang benar adalah ....A.(1), (2) dan (3) benarB.(1) dan (3) benarC.(2) dan (4) benarD.(4) sajaE.Semua pernyataan benar8.Gambarkan grafik fungsi y = -2 sin x, untuk 0≤𝑥≤2𝜋9.Gambarkan grafik fungsi y = -cos x+ 1, untuk 0≤𝑥≤2𝜋10.Gambarkan grafik fungsi y = tan x-2, untuk 0≤𝑥≤2𝜋
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22PEMBAHASAN1.Jawaban: EPembahasan:Bentuk umum fungsisinustersebut adalah𝑦=𝑎𝑆𝑖𝑛(𝑘𝑥)Periode:Periode𝑦1=5𝑆𝑖𝑛𝑥dengank=1adalah𝑃1=36001=3600, sedangkan periode𝑦2=𝑆𝑖𝑛5𝑥dengank=5adalah𝑃2=36005=720Dapat disimpulkan bahwa periodey1sama dengan 5 kali periodey2.Amplitudo:Amplitudoy1= 5 sin xdengana=5adalahA1=|a|=|5|=5, sedangkan amplitudoy2=Sin5xdengana=1makaA2=|a|=|1|=1. Dapat disimpulkan bahwa amplitudoy1samadengan5 kali amplitudoy2.2.Jawaban: APembahasan:Yang mempunyai periode 3600adalah y = sin x, y = cos xdan y = Sin (x-1800)3.Jawaban: CPembahasan:Soal sudah jelas. Lihat kembali gambar grafik fungsi trigonometri y = tan x4.Jawaban: APembahasan:Maksimum nilai y = sin xadalah 1Maksimum nilai y = cos xadalah 1Maksimum nilai y = 3 sin x= 3 (1) = 3 sedangkan maksimum nilai y = Sin 3x = 1 , maka Maksimum 3 Sin > Maksimum Sin 3x5.Jawaban: APembahasan:Grafik di atas mempunyai nilai maksimum sama dengan 1 dan nilai minimum sama dengan -1. Dan grafik memotong sumbu x untuk x sama dengan 1200. 6.Jawaban: DPembahasan:Nilai maksimum dan minimum masing-masing adalah -1 dan 1, maka nilai a = 1.Periode grafik adalah 1200maka nilai k = 3. Maka misalkan disubstitusikan untuk x = 300maka diperoleh a = -1. 7.Jawaban: DPembahasan:Grafik fungsi 𝑦=12𝐶𝑜𝑠𝑥+1mempunyai nilai maksimum 12+1=112dan periodik diperoleh adalah 2𝜋
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN238.Jawaban: grafik fungsi y = -2 sin x, untuk 0≤𝑥≤2𝜋9.Jawaban: y = -cos x+ 1, untuk 0≤𝑥≤2𝜋10.Jawaban: grafik fungsi y = tan x-2, untuk 0≤𝑥≤2𝜋
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24E.Penilaian DiriBerilah tanda ceklist (V) pada kotak yang kalian anggap paling sesuai. Setelah mempelajari dan mengerjakan pembelajaran 1 pada modul ini, bagaimana penguasaan kalian terhadap materi-materi berikut:NoMateriTidakMenguasaiKurang MenguasaiMenguasai1Menggambar grafik fungsi y = sin xdengan menggunakan lingkaran satuan2.Menggambar grafik fungsi y = cos xdengan menggunakan lingkaran satuan3.Menggambar grafik fungsi y = tan xdengan menggunakan lingkaran satuan4. Memahami grafik fungsi y = sin x5. Memahami karakteristik grafik fungsi y = cos x6.Memahami karakteristik grafik fungsi y = tan xCatatan : 1.Jika soal latihan kalian memperoleh nilai < 80% maka kembali pelajari dan ulang kembali pembelajaran 1 dari awal.2.Jika dari ceklist yang kalian buat < 75% tidak atau kurang dikuasai, maka kembali pahami dan ulang kembali kegiatan pembelajaran 1 dari awal.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25KEGIATAN PEMBELAJARAN 2GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRIBENTUK Y = A Sin b (X ±C) ±K A.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran keduaini diharapkan siswa dapat: 1.Menjelaskan perubahan grafik fungsi trigonometri yang diakibatkan oleh bentuk fungsi y = a Sin b (x±c) ±d.2.Mengidentifikasi grafik fungsi trigonometri y = a Sin b (x±c) ± d.B.Uraian MateriSebagaimana telah diperoleh pada pembelajaran sebelumnya, bahwa fungsi trigonometri sinus, cosinus dan tangen adalah bentuk fungsi yang periodik. Fungsi periodic adalah fungsi yang sifatnya berulang-ulang secara teratur. Karena bersifat periodic, berarti ada periodenya. Periode bisa kita sebut juga sebagai siklus yaitu pengulanagn hal yang sama setelah suatu selang tertentu. Fungsi y = sin xakan membentuk siklus/periodesetiap 3600. Hal ini bermakna bahwa setelah x mencapai 3600, maka grafik fungsi y = sin xakan mengulang kembali ke awal. Supaya lebih jelas kalian bisa melihat dari ilustrasi berikut ini!1.Grafik Fungsi SinusIngat kembali bentuk fungsi y = sin x, untuk00≤𝑥≤3600sebagai berikut: Fungsi y = sin xmempunyai nilai maksimum di y = 1 dan nilai minimum di y = -1. Nilai maksimum atau nilai minimum untuk y = 1, maka y = 1 disebut juga sebagai amplitude dari grafik fungsi y = sin x. Perhatikan pula bahwa grafik fungsi y = sin xmempunyai periode sejauh 3600untuk membentuk satu gelombang. a.Misalkan fungsi 𝑦2=2𝑦1atau 𝑦2=2𝑆𝑖𝑛𝑥, 00≤𝑥≤3600, maka grafik fungsi nya menjadiseperti berikut:
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26Berdasarkan grafik di atas, perhatikan bahwa nilai maksimum y2= 2 sin xmenjadi sama dengan 2 dan nilai minimum menjadi -2. Sedangkan periode dari y2= 2 sin xtetap sama dengan 3600. b.Misalkan fungsi 𝑦3=−2𝑦1atau 𝑦3=−2𝑠𝑖𝑛𝑥, 00≤𝑥≤3600, makagrafik fungsi nya menjadi seperti berikut:Berdasarkan grafik diatas perhatikan bahwa nilai maksimum y3= -2 sin xmenjadi sama dengan 2 dan nilai minimum menjadi -2. Sedangkan periode dari y3= -2 sin xtetap sama dengan 3600. Berdasarkan a) dan b) maka diperoleh bahwa secara umum jika diberikan fungsi trigonometri y = k Sin x, maka nilai maksimum y = k dan nilai minimum = -kc.Misalkan fungsi 𝑦4=𝑦1+2atau 𝑦4=𝑠𝑖𝑛𝑥+2, 00≤𝑥≤3600, maka grafik fungsinya menjadi seperti berikut:
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27Berdasarkan grafik fungsi trigonometri di atas, maka diperoleh bahwa nilai maksimum y4= 3 atau nilai maksimum y4= nilai maksimum y1+ 2 = 1 + 2 = 3. Sedangkan nilai minimum y4= 1 atau nilai minimum y4= nilai minimum y1+2=-1 d.Misalkan fungsi 𝑦5=𝑦1−3atau 𝑦4=𝑆𝑖𝑛𝑥−2, 00≤𝑥≤3600, maka grafik fungsinya menjadi seperti berikut:Berdasarkan grafik fungsi trigonometri di atas, maka diperoleh bahwa nilai maksimum y5= -2 atau nilai maksimum y5= nilai maksimum y1-3 = 1 -3 = -2. Sedangkan nilai minimum y5= -4 atau nilai minimum y5= nilai minimum y1–3 = -1 -3 = -4.Berdasarkan ilustrasi pada c) dan d) maka diperoleh jika y = sin x+ c, maka y mempunyai nilai maksimum sama dengan 1 + c dan y mempunyai nilai minimum 1 –c. e.Misalkan fungsi𝑦6=Sin(x−𝜋6), 00≤𝑥≤3600, maka grafik fungsinya menjadi seperti berikut:Berdasarkan gambar di atas, maka dapat diperoleh bahwa fungsi y = sin xmemotong sumbu -x dititik x = 0,𝜋2,2𝜋Sedangkan pada grafik y = Sin (x -300) diperolehbahwa titik potong sumbu-x memenuhi untuk y = 0, maka diperoleh untuk: i.Sin (x -300) = 0 atau x -300= 0 atau x = 300, 1500ii.Sin (x -300) = 0 atau x -300= 1800atau x = 2100
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28f.Misalkan fungsi 𝑦7=Sin(x+𝜋6), 00≤𝑥≤3600, maka grafik fungsinya menjadi seperti berikut:Berdasarkan gambar di atas, maka dapat diperoleh bahwa fungsi y = sin xmemotong sumbu -x dititik x = 0,𝜋2,2𝜋Sedangkan pada grafik y = Sin (x + 300) diperoleh bahwa titik potong sumbu-x memenuhi untuk y = 0, maka diperoleh untuk: i.Sin (x +300) = 0 atau x +300= 0 atau x = -300,1500ii.Sin (x +300) = 0 atau x +300= 1800atau x = 2100Berdasarkan ilustrasi yang ada di e) dan f), jika grafikfungsi trigonometri bertambah sejauh 𝛼0atau Sin (x +300) maka diperoleh grafiknya dapat diperoleh dari grafik fungsiy = sin xyang digeser sejauh 𝛼0ke arah kanan sepanjangsumbu-x. Sedangkan grafik fungsi trigonometri berkurangsejauh 𝛼0atau Sin (x -300) maka diperoleh grafiknya dapat diperoleh dari grafik fungsiy = sin xyang digeser sejauh 𝛼0ke arah kiri sepanjangsumbu-xBerdasarkan bahasan di atas, maka dapat kita buat kesimpulan secara umum bahwa grafik fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐dapat diperoleh: a.Nilai maksimum fungsi adalah 𝑦=|𝑘|+𝑐b.Nilai minimum fungsi adalah 𝑦=−|𝑘|+𝑐c.Amplitudo dari fungsi sama dengan |k|d.Periode fungsi adalah 3600𝑎atau 2𝜋𝑎e.Jika (𝑥+𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeser kekiri sejauh 𝛽f.Jika (𝑥−𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeser kekanansejauh 𝛽g.Jika konstanta c > 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeserke atassejauh ch.Jika konstanta c < 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeserke ataskebawah ci.Grafik fungsi y = =−𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0adalah cerminan grafik fungsi y = =𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0terhadap sumbu-x
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Dengan cara yang sama seperti di atas, maka untuk mendapatkan ilustrasi terkait dengan grafik fungsi cosinus yang dinyatakan dalam bentuk 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐dapat diperoleh:a.Nilai maksimum fungsi adalah 𝑦=|𝑘|+𝑐b.Nilai minimum fungsi adalah 𝑦=−|𝑘|+𝑐c.Amplitudo dari fungsi sama dengan |k|d.Periode fungsi adalah 3600𝑎atau 2𝜋𝑎e.Jika (𝑥+𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeser kekiri sejauh 𝛽f.Jika (𝑥−𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeser kekanansejauh 𝛽g.Jika konstanta c > 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeserke atassejauh ch.Jika konstanta c < 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeserke ataskebawah ci.Grafik fungsi y = =−𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0adalah cerminan grafik fungsi y = =𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0terhadap sumbu-xSedangkan untuk grafik tangen untuk mendapatkan ilustrasi terkait dengan grafik fungsi tangen yang dinyatakan dalam bentuk 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐dapat diperoleh:a.Nilai maksimum fungsi adalah 𝑦=∞b.Nilai minimum fungsi adalah 𝑦=−∞c.Amplitudo dari fungsi sama dengan |k|d.Periode fungsi adalah 1800𝑎atau 𝜋𝑎e.Jika (𝑥+𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeser kekiri sejauh 𝛽f.Jika (𝑥−𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeser kekanansejauh 𝛽g.Jika konstanta c > 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeserke atassejauh ch.Jika konstanta c < 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeserke ataskebawah ci.Grafik fungsi y = =−𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0adalah cerminan grafik fungsi y = =𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0terhadap sumbu-xUntuk lebih memahami pembahasan di atas, perhatikan contoh-contoh soal dibawah ini. CONTOH 1Gambarkan grafik y = 2 Sin 3(x -300)untuk 0≤𝑥≤1800Jawaban:Langkah -langkah untuk menggambar grafik y = 2 Sin 3(x -300) adalah: a.Pertama gambarlah dahulu grafik y = sin xdan y = 2 Sin 3x sebagai dasarb.Nilai maksimum ymax= 2 Sin 3x = 2 (1) = 2 maka ymax= 2 Sin 3(x -300) = 2 dan nilai ymin= 2 Sin 3x = 2 (-1) = -2 maka ymin=2Sin 3(x -300) = -2 c.Karena fungsi y = 2 Sin 3x dan y = 2 Sin 3(x -300) mempunyai sudutyangsama. Maka periodenya sama dengan 36003=1200d.Perhatikan kembali grafik y =sin x, dengan periode sejauh 3600, memotong sumbu-x di titik x = 00, 1800, 3600. Maka grafik y = Sin 3x dengan periode sejauh 1200, memotong sumbu-x di titik x = 00, 600, 1200.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30e.Berdasarkan informasi di atas, maka diperoleh grafik y = 2 Sin 3(x -300)sebagai berikut:CONTOH 2Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi 𝑦=−32𝐶𝑜𝑠(𝑥+𝜋4)+1Jawaban:Bentuk dasar dari fungsi trigonometri 𝑦=−32𝐶𝑜𝑠(𝑥+𝜋4)+1adalah bentuk 𝑦=𝐶𝑜𝑠𝑥. a.Nilai y = cos xmempunyainilai maksimum sama dengan 1. Maka diperoleh bahwa 𝑦=−32𝐶𝑜𝑠(𝑥+𝜋4)mempunyai nilai y= −32(1)=−32. Maka bentuk 𝑦=−32+1=−12→ini merupakan nilai minimumb.Nilai y = cos xmempunyai nilai minimum sama dengan -1. Maka diperoleh bahwa 𝑦=−32𝐶𝑜𝑠(𝑥+𝜋4)mempunyai nilai y= −32(−1)=32. Maka bentuk 𝑦=32+1=52→ini merupakan nilai maksimumC.RangkumanBerdasarkan bahasan di atas, maka dapat kita simpulkan sebagai berikut: 1.Bentuk 𝒚=𝒌𝑺𝒊𝒏𝒂(𝒙±𝜷)𝟎+𝒄dapat diperoleh: a.Nilai maksimum fungsi adalah 𝑦=|𝑘|+𝑐b.Nilai minimum fungsi adalah 𝑦=−|𝑘|+𝑐c.Amplitudo dari fungsi sama dengan |k|d.Periode fungsi adalah 3600𝑎atau 2𝜋𝑎e.Jika (𝑥+𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeser kekirisejauh 𝛽f.Jika (𝑥−𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeser kekanan sejauh 𝛽g.Jika konstanta c > 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeser ke atas sejauh ch.Jika konstanta c < 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎𝑥bergeser ke atas kebawah ci.Grafikfungsi y = =−𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0adalah cerminan grafik fungsi y = =𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0terhadap sumbu-x
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN312.Bentuk 𝒚=𝒌𝑪𝒐𝒔𝒂(𝒙±𝜷)𝟎+𝒄dapat diperoleh:a.Nilai maksimum fungsi adalah 𝑦=|𝑘|+𝑐b.Nilai minimum fungsi adalah 𝑦=−|𝑘|+𝑐c.Amplitudo dari fungsi sama dengan |k|d.Periode fungsi adalah 3600𝑎atau 2𝜋𝑎e.Jika (𝑥+𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeser kekiri sejauh 𝛽f.Jika (𝑥−𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeser kekanansejauh 𝛽g.Jika konstanta c > 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeserke atassejauh ch.Jika konstanta c < 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎𝑥bergeserke ataskebawah ci.Grafik fungsi y = =−𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0adalah cerminan grafik fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0terhadap sumbu-x3.Bentuk 𝒚=𝒌𝑻𝒂𝒏𝒂(𝒙±𝜷)𝟎+𝒄dapat diperoleh:a.Nilai maksimum fungsi adalah 𝑦=∞b.Nilai minimum fungsi adalah 𝑦=−∞c.Amplitudo dari fungsi sama dengan |k|d.Periode fungsi adalah 1800𝑎atau 𝜋𝑎e.Jika (𝑥+𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeser kekiri sejauh 𝛽f.Jika (𝑥−𝛽)maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeser kekanansejauh 𝛽g.Jika konstanta c > 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeserke atassejauh ch.Jika konstanta c < 0, maka fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎𝑥bergeserke ataskebawah ci.Grafik fungsi y = =−𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0adalah cerminan grafik fungsi y = =𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0terhadap sumbu-xD.Latihan Soal1.Grafik di bawah ini persamaannya adalah ....2.Persamaan grafikfungsi untuk gambar dibawah ini adalah ....A.y = sin xB.y = sin 2xC.y = sin (-x)D.y = sin (-2x)E.𝑦=12𝑐𝑜𝑠2𝑥A.𝑦=𝑐𝑜𝑠12𝑥B.𝑦=2𝑐𝑜𝑠12𝑥C.𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥D.𝑦=2𝑐𝑜𝑠𝑥E.𝑦=2𝑐𝑜𝑠2𝑥
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN323.Nilai maksimum dan minimum dari fungsi 𝑦=5𝐶𝑜𝑠3𝑥adalah ....A.3 dan -3B.4 dan -5C.5 dan -5D.6 dan -3E.7 dan 54.Nilai maksimum dan nilai minumum dari fungsi 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2(𝑥+300)adalah ....A.-2 dan -3B.2 dan-2C.-3 dan -5D.3 dan -3E.5 dan -55.Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi 𝑦=−3𝑆𝑖𝑛(2𝑥−600)−5adalah ....A.-3 dan -5B.-2 dan -8C.0 dan -5D.2 dan -3E.3 dan -76.Jika 00≤𝑥≤1800maka fungsi 𝑦=3𝑆𝑖𝑛(2𝑥−300)mempunyai nilai maksimum dititik ....A.(300,3)B.(450,3)C.(600,3)D.(750,3)E.(900,3)7.Periode dari fungsi 𝑦=2𝑆𝑖𝑛(3𝑥−300)adalah ....A.900B.1200C.1500D.1800E.36008.Persamaan dari grafik di bawah ini adalah ....A.y = tan 2xB.y = 2 tan 2xC.𝑦=𝑡𝑎𝑛12𝑥D.y = -2 tan xE.y = 2 tan x
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33PEMBAHASAN1.Jawaban:DPembahasan:Grafik memotong sumbu-x dititik x = 00, 900, 1800, 2700, 3600, maka fungsi mempunyai periode sama dengan 1800Grafik mempunyai nilai maksimum sama dengan 1 dan mempunyai nilai minimum sama dengan -1Maka grafik di atas yang benar adalah y = Sin (-2x) 2.Jawaban:BPembahasan:Grafik memotong sumbu-x dititik x =450,1350maka fungsi mempunyai periode sama dengan 1800Grafik mempunyai nilai maksimum sama dengan 2 dan mempunyai nilai minimum sama dengan -2Maka grafik di atas yang benar adalah 𝑦=2𝐶𝑜𝑠12𝑥3.Jawaban:CPembahasan:Bentuk dasar dari 𝑦=5𝐶𝑜𝑠3𝑥adalah y = Cos 3x. Nilai maksimum y = Cos 3x adalah 1, maka nilai maksimum 𝑦=5𝐶𝑜𝑠3𝑥=5(1)=5Nilai minimum y = Cos 3x adalah -1, maka nilai minimum 𝑦=5𝐶𝑜𝑠3𝑥=5(−1)=−54.Jawaban:DPembahasan:Bentuk dasar dari 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2(𝑥+300)adalah 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2𝑥Nilai maksimum y = cos 2x adalah 1, maka 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2𝑥=−3(1)=−3→ini akan menjadi nilai minimum fungsi 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2(𝑥+300)Nilai minimum y = cos 2x adalah -1, maka 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2𝑥=−3(−1)=3→ini akan menjadi nilai maksimum fungsi 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2(𝑥+300)5.Jawaban:BPembahasan:Bentuk dasar dari 𝑦=−3𝑐𝑜𝑠2(𝑥+300)adalah 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2𝑥Nilai maksimum y = cos 2x adalah 1, maka 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2𝑥=−3(1)=−3→ini akan menjadi nilai minimum fungsi 𝑦=−3𝑐𝑜𝑠2(𝑥+300)Nilai minimum y = cos 2x adalah -1, maka 𝑦=−3𝑐𝑜𝑠2𝑥=−3(−1)=3→ini akan menjadi nilai maksimum fungsi 𝑦=−3𝑐𝑜𝑠2(𝑥+300)6.Jawaban: CPembahasan:Grafik fungsi 𝑦=3𝑠𝑖𝑛(2𝑥−300)mempunyai nilai maksimum sama dengan 3, maka 𝑦=3𝑠𝑖𝑛(2𝑥−300)= 3. Maka s𝑖𝑛(2𝑥−300)=1. Grafik fungsi Sinus mempunyai nilai 1 pada x = 900, maka (2𝑥−300)=900→2x = 1200→x = 600
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN347.Jawaban: BPembahasan:Bentuk dasar dari fungsi 𝑦=2𝑠𝑖𝑛(3𝑥−300)adalah y = 2 sin 3x. Fungsi y = 2 sin 3x mempunyai periode sama dengan 36003=12008Jawaban: BPembahasan:Periode grafik = 900maka diperoleh y = k tan 2xLakukan substitusi untuk 𝑥=𝜋8, maka diperoleh bahwa nilai y = 2. Substitusikan nilai ini ke bentuk y = k tan 2x, maka diperoleh k = 2.Maka diperoleh fungsi sama dengan y = 2 tan 2xE.Penilaian DiriBerilah tanda ceklist (V) pada kotak yang kalian anggap paling sesuai. Setelah mempelajari dan mengerjakan pembelajaran 1 pada modul ini, bagaimana penguasaan kalian terhadap materi-materi berikut:NoMateriTidak MenguasaiKurang MenguasaiMenguasai1Mampu menggambar grafik fungsi𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐2.Mampu menggambar grafik fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐3.Mampu menggambar grafik fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐4. Menentukan nilai maksimum/ minimum bentuk 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐5. Menentukan nilai maksimum/ minimum bentuk 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐6.Menentukan nilai maksimum/ minimum bentuk 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐7.Menentukan periode fungsi 𝑦=𝑘𝑆𝑖𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐8.Menentukan periode fungsi 𝑦=𝑘𝐶𝑜𝑠𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐9.Menentukan periode fungsi 𝑦=𝑘𝑇𝑎𝑛𝑎(𝑥±𝛽)0+𝑐Catatan : 1.Jika soal latihan kalian memperoleh nilai < 80% maka kembali pelajari dan ulang kembali pembelajaran 1 dari awal.2.Jika dari ceklist yang kalian buat< 75% tidak atau kurang dikuasai, maka kembali pahami dan ulang kembali kegiatan pembelajaran 1 dari awal.
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35EVALUASIPilihlah jawaban yang paling tepat!1.Nilai maksimum fungsi y = 2 Sin 3x + 3 adalah ....A.-2B.0C.2D.3E.52.Nilai minimum dari fungsi 𝑦=−4𝐶𝑜𝑠3(𝑥+300)+2adalah ....A.-2B.0C.2D.1E.43.Jika 00≤𝑥≤1800, maka fungsi 𝑦=−3𝐶𝑜𝑠2𝑥akan minimum untuk x sama dengan ....A.00dan 1800B.300dan 1200C.450dan 1350D.600dan 1500E.900dan 18004.Persamaan grafik di bawah ini adalah ....A.y = sin xB.y = cos (x -300)C.y = sin (x -300)D.y = cos (x + 300)E.y = sin (x + 300)5.Persamaan grafik fungsi dibawah ini adalah A.A.y = sin xB.y = -2 sin 2xC.𝑦=2𝑠𝑖𝑛(𝜋2+2𝑥)D.𝑦=−2cos(𝜋2+2𝑥)E.𝑦=2𝑐𝑜𝑠(𝜋2+2𝑥)
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN366.Persamaan dari grafik dibawah ini adalah .....7.Nilai maksimum dari fungsi 𝑦=−38𝐶𝑜𝑠(𝑥+𝜋4)+1adalah ....A.38B.58C.68D.118E.1388.Perhatikan grafik dibawah ini!9.Perhatikan grafik dibawah ini!Jika grafik di atas berbentuk y = A Sin kx, maka nilai A dan k yang sesuai adalah ....A.A = -2 dan k = 𝜋B.A = -2 dan k = 2C.A = 2 dan k = 𝜋D.A = 2 dan k = 2𝜋E.A = 2 dan k = 2Periode grafik fungsi disamping adalah ...A.300B.600C.900D.1200E.1800A.𝑦=𝑆𝑖𝑛2(𝑥−300)+1B.𝑦=𝑆𝑖𝑛(2𝑥−300)+1C.𝑦=𝐶𝑜𝑠2(𝑥−300)+1D.𝑦=𝐶𝑜𝑠(2𝑥−300)+1E.𝑦=2𝑆𝑖𝑛(𝑥+300)+1
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3710.Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah adalah ....11.Gambarkan grafik fungsi 𝑦=12𝑆𝑖𝑛(𝑥−45)12.Gambarkan grafik fungsi 𝑦=2−𝐶𝑜𝑠2(𝑥−30)13.Gambarkan grafik fungsi 𝑦=12+𝑡𝑎𝑛(2(𝑥−45))14.Gambarkan grafik fungsi 𝑦=2−𝑐𝑜𝑠(2(𝑥−30))15.Gambarkan grafik fungsi 𝑦=13(𝑆𝑖𝑛(180−2𝑥))A.𝑦=2𝐶𝑜𝑠(𝑥+16𝜋)B.𝑦=2𝐶𝑜𝑠(𝑥−16𝜋)C.𝑦=2𝐶𝑜𝑠(𝑥+13𝜋)D.𝑦=2𝐶𝑜𝑠(𝑥−13𝜋)E.𝑦=2𝐶𝑜𝑠(𝑥+23𝜋)
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38Kunci Jawaban.1.E2.E3.A4.C5.D6.A7.D8.D9.E10.D11.Grafik 𝑦=12𝑆𝑖𝑛(𝑥−45)12.grafik fungsi 𝑦=2−𝐶𝑜𝑠2(𝑥−30)13.Grafik fungsi 𝑦=12+𝑡𝑎𝑛(2(𝑥−45))
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3914.Grafik y=2-cos(2 (x-30))15.Grafik 𝑦=13(𝑆𝑖𝑛(180−2𝑥))
Modul Matematika Wajib Kelas X KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40DAFTAR PUSTAKAdkk, Bornok Sinaga. 2017. Matematika Wajib SMA/MA Kelas X . Jakarta: KementrianPendidikan dan Kebudayaan. Herlin, Bob Foster. 2015. Soal dan Pembahasan Matematika. Jakarta: Erlangga.2018. "https://www.maretong.com/2018/12/fungsi-trigonometri.html." https://www.maretong.com/2018/12/fungsi-trigonometri.html. Desember 19.Accessed September 16, 2020. maya, Media. 2020."https://mediamaya26.blogspot.com/2020/07/modul-fungsitrigonometri.html."https://mediamaya26.blogspot.com/2020/07/modul-fungsitrigonometri.html.Januari19. AccessedSeptember15, 2020.Research, Tim Quantum. 2020. Super Master Pelajaran SMA/MA Kelas X Semester 1 dan 2Saintek. Bandung: Yrama Widya.